פורום אוצר החכמה

עשיתי חישוב מה היה עובי היו האדנים
כאשר ידוע לנו שכל אדן היה שוקל כיכר
לפי המשקל הסגולי של כסף
ויצא לי עובי האדן 0.5 ס"מ!
ורש"י עה"ת (שמות כו יז) מבואר שהוא היה רבע אמה שהם טפח וחצי וצ"ע.



אשמח שיתקנו אותי אם יש לי טעות

נדמה לי שבספר מידות ושיעורים של תורה דן בזה.

השאלה ידועה והתשובה הפשוטה שהיו חלולים.

כעין זה קשה על הכפורת ועל המנורה, וגם עליהם יש מי שכתב שהיו חלולים.
עדיין יל"ע מה מידת העמידות של אדן חלול בעובי דק שכזה, ומה טעם לחרוץ כה הרבה מן הקרש ואז לצפותו באדן חלול (אכן יש בראשונים דעות אחרות בדבר מבנה האדנים, כמדומני).

ברזילי כתב:כעין זה קשה על הכפורת ועל המנורה, וגם עליהם יש מי שכתב שהיו חלולים.
עדיין יל"ע מה מידת העמידות של אדן חלול בעובי דק שכזה,

זו לא קושיא דהיה מחכמתו של בצלאל

אם כך, הדיון החזיר אותי לשאלה אחרת, כיצד החזיקו עמודי הפרוכת בצד מערב, שהיו גבוהים 10 אמה וצרים מאד, ללא שום חיבור ביניהם, נסו להעמיד עמוד כזה והוא לא יחזיק אפילו דקה. אם חשבתי שעמדו ע"י משקל האדנים, הרי משמע מכאן שהמשקל שלהם לא היה רב כל כך.

שמח כתב:הרי משמע מכאן שהמשקל שלהם לא היה רב כל כך.

פנימי כתב 48 קילו.

יש תשובה ארוכה ברשב"ץ (דוראן), חלק ג, בכל עניינים אלו. אינני זוכר איזה סימן.

ייתכן שהכסף שלהם הכיל סיגים, אולי כדי לחזק אותו, כמו הפחמן בברזל שהופך אותו לפלדה ומוריד את משקלו הסגולי. לא כתוב כאן בשום מקום "כסף טהור", וייתכן שהיה בכוונה "לא טהור".

משכיל אל דל כתב:ייתכן שהכסף שלהם הכיל סיגים, אולי כדי לחזק אותו, כמו הפחמן בברזל שהופך אותו לפלדה ומוריד את משקלו הסגולי. לא כתוב כאן בשום מקום "כסף טהור", וייתכן שהיה בכוונה "לא טהור".

האם כוונתך שמלבד ככר הכסף הטהור היתה באדנים עוד כמות משמעותית של חומר אחר, למשל פחמן? כלומר שכשכתוב בתורה "ככר לאדן" הכוונה ככר כסף לאדן, ועוד ככר של מתכת אחרת? זה נראה רחוק מאד.

כנראה כוונתך לומר שהמשקל הכולל היה ככר, כפשטיה דקרא, ורק הצפיפות (משקל סגולי) היתה נמוכה יותר בגלל סיגים. זה אינו מועיל כל כך לפתרון השאלה. אם להשתמש בדוגמא שהבאת, סיגי הפחמן שבפלדה אמנם משנים את צפיפותה מזו של ברזל טהור (7.87 טון למ"ק), אך לא במידה ניכרת (בין 7.75 ל-8.05. פלדה "סטנדרטית" 7.85). נתך פופולרי של כסף הוא כסף-ניקל, שצפיפותו קטנה בכ-20% מזו של כסף, וגם לפי זה עובי האדן היה ששה מ"מ במקום חמשה, ועדיין השאלה במקומה, ויש לדחוק שהיו חלולים וכו'.

לגבי יציבות הקרש: משקל האדן, כאמור, ככר שהוא כ-50 ק"ג. נפח כל קרש היה 15 אמות מעוקבות שהן 1.65 מ"ק לפי אמה של 48 ס"מ. צפיפות עץ משתנה בין סוגים שונים, מ- 0.35 טון למ"ק ועד 1.3 לעצים דחוסים במיוחד. צפיפותם של העצים הנקראים בימינו "שיטה" היא כ-0.7. לפי חלק מן המדרשים עצי שיטים הם ארזים, צפיפותו של ארז הלבנון כ-0.6. לכן, משקל כל קרש היה לפחות חצי טון (וכנראה בערך טון). תוספת האדנים שמשקל שניהם כממאה קילו אינה משפרת באופן משמעותי את יציבותו של הקרש. לפי חז"ל כדי ליצור מקום לאדנים (החלולים ?) נסרו כמעט עשירית מנפח הקרש, כך שהורידו עץ במשקל 50-100 ק"ג כדי לשים אדנים במשקל 100 ק"ג, וצ"ע. לפי שיעור האמה הגדול נפח הקרשים ומשקלם מוכפלים ב- 1.75. משקל האדנים, לעומת זאת נתון בתורה ואינו מושפע ממידת האמה, ולכן הבעיה חריפה עוד יותר, כמובן.

ברזילי כתב:לגבי יציבות הקרש: משקל האדן, כאמור, ככר שהוא כ-50 ק"ג. נפח כל קרש היה 15 אמות מעוקבות שהן 1.65 מ"ק לפי אמה של 48 ס"מ. צפיפות עץ משתנה בין סוגים שונים, מ- 0.35 טון למ"ק ועד 1.3 לעצים דחוסים במיוחד. צפיפותם של העצים הנקראים בימינו "שיטה" היא כ-0.7. לפי חלק מן המדרשים עצי שיטים הם ארזים, צפיפותו של ארז הלבנון כ-0.6. לכן, משקל כל קרש היה לפחות חצי טון (וכנראה בערך טון). תוספת האדנים שמשקל שניהם כממאה קילו אינה משפרת באופן משמעותי את יציבותו של הקרש. לפי חז"ל כדי ליצור מקום לאדנים (החלולים ?) נסרו כמעט עשירית מנפח הקרש, כך שהורידו עץ במשקל 50-100 ק"ג כדי לשים אדנים במשקל 100 ק"ג, וצ"ע. לפי שיעור האמה הגדול נפח הקרשים ומשקלם מוכפלים ב- 1.75. משקל האדנים, לעומת זאת נתון בתורה ואינו מושפע ממידת האמה, ולכן הבעיה חריפה עוד יותר, כמובן.

אני מבין שחישוביך הם על קרשי הדפנות. אבל השאלה שנשאלה לעיל היתה דוקא על קרשי הפרוכת ולא על קרשי הדפנות שהיו מחוברים זה לזה ונסמכו זל"ז [אך אדני הפרוכת לא היו כסף].

חשבונות רבים כתב:

ברזילי כתב:לגבי יציבות הקרש: משקל האדן, כאמור, ככר שהוא כ-50 ק"ג. נפח כל קרש היה 15 אמות מעוקבות שהן 1.65 מ"ק לפי אמה של 48 ס"מ. צפיפות עץ משתנה בין סוגים שונים, מ- 0.35 טון למ"ק ועד 1.3 לעצים דחוסים במיוחד. צפיפותם של העצים הנקראים בימינו "שיטה" היא כ-0.7. לפי חלק מן המדרשים עצי שיטים הם ארזים, צפיפותו של ארז הלבנון כ-0.6. לכן, משקל כל קרש היה לפחות חצי טון (וכנראה בערך טון). תוספת האדנים שמשקל שניהם כממאה קילו אינה משפרת באופן משמעותי את יציבותו של הקרש. לפי חז"ל כדי ליצור מקום לאדנים (החלולים ?) נסרו כמעט עשירית מנפח הקרש, כך שהורידו עץ במשקל 50-100 ק"ג כדי לשים אדנים במשקל 100 ק"ג, וצ"ע. לפי שיעור האמה הגדול נפח הקרשים ומשקלם מוכפלים ב- 1.75. משקל האדנים, לעומת זאת נתון בתורה ואינו מושפע ממידת האמה, ולכן הבעיה חריפה עוד יותר, כמובן.

אני מבין שחישוביך הם על קרשי הדפנות. אבל השאלה שנשאלה לעיל היתה דוקא על קרשי הפרוכת ולא על קרשי הדפנות שהיו מחוברים זה לזה ונסמכו זל"ז [אך אדני הפרוכת לא היו כסף].

וְנָתַתָּה אֹתָהּ עַל-אַרְבָּעָה עַמּוּדֵי שִׁטִּים מְצֻפִּים זָהָב וָוֵיהֶם זָהָב עַל-אַרְבָּעָה אַדְנֵי-כָסֶף

אמנם העמודים היו צרים יותר, אך מאידך היה רק אדן אחד ולא שניים בתחתית, כך שיחס משקל האדן למשקל הקשר כולו היה(*) כמו זה של קרשי המשכן (וכן לא היו נתמכים זב"ז כקרשי הדפנות). אם נוסיף את משקלו של ציפוי הזהב (לפי חז"ל בעובי דינר. אין ידוע לנו עוביו של דינר (לשון הרשב"א כמדומני), אבל סביר שלא פחות מ-1 מ"מ) נקבל לפחות עוד כ-200 ק"ג לקרשי הדפנות, וכ-150 ק"ג לעמודי הפרוכת, והיחס נמוך עוד יותר בעמודי הפרוכת. גם משקל הפרוכת עצמה היה משמעותי, כך שיציבות עמודי הפרוכת אינה ברורה לי כלל ועיקר.

----
(*) כנראה - כי לא נתפרש, לפי עניות ידיעתי, אורכם ורוחבם של עמודים אלה, אלא שמקובל להניח שאם היה בתחתיתם אדן אחד במשקל זהה לשאר האדנים, היו מימדיהם כחצי קרש מקרשי המשכן (רא"ם, מעשה חושב לרעח"ר, מלבי"ם)

עיין תשב"ץ ח"ג סי' ע' שדן על בעיות דומות בכמות הזהב שהיה בידם לעומת כמות הזהב שנצרכת לכפורת בעובי טפח, וכן בלחם הפנים -ע"ש, ומתחיל שאפשר שהיה נס שהספיק להכל, ואם קבלה נקבל ואם לדין יש תשובה, שרק דפנות הכפורת היו עולות טפח, אבל היא עצמה היתה דקה, וכן בלחה"פ. והביא שבכר האב"ע (בפי' הארוך) עמד על הקושיא בכפורת.

טען לי מישהו, שכשם שמבואר בגמ' שז' מיני זהב הם, ייתכן שהכסף שהיה שם היה סוג אחר, קל יותר.

סוגי הזהב השונים נבדלים ככל הנראה, ברמת הנקיון של הזהב, ובחומר המעורב עמו (זהב אדום, למשל, היה נפוץ, והתקבל כתוצאה מערוב מכוון של נחושת).
נמצאו כלי זהב רבים ממצרים העתיקה, ולכן ניתן לדעת מה היתה רמת הנקיון המקובלת של הזהב באותו הזמן. לפי מה שמצאתי כעת בספרות, הרמה המקובלת בתקופת יציאת מצריים היתה 70-85% זהב, אם כי נמצאו פה ושם גם כלי זהב ברמות נקיון של כ-85%. רמה של 70-85% אינה מצריכה שום טכנולוגיה מיוחדת - זו רמת הנקיון הטיפוסית של זהב כפי שהוא נכרה מן האדמה במצבו הטבעי. האחוזים החסרים הם כמעט לחלוטין כסף.

לכן, גם אם נניח שהזהב (הטהור!) עליו מדברת התורה הוא 70% זהב ו-30% כסף, הצפיפות תרד מ- 19.3 ל- 16.7. לא שינוי משמעותי.

להמחשה, נחשב את נפח הזהב שנדרש לכפורת ולקרשים בלבד (הכל באמה בת 48 ס"מ(*)), ואת הצפיפות הנגזרת מכך:

כפורת 2.5 על 1.5 אמות על טפח - כ-69 ליטר.
קרשים (לפי עובי ציפוי 1 מ"מ) - כ-11.5 ליטר לכל קרש, 48 קרשים עולים לכ- 553 ליטר (ללא עמודי הפרוכת). סה"כ 622 ליטר זהב.
כל הזהב העשוי למלאכה כ- 29.25 ככר, מתוכם ככר אחד למנורה ולכליה, ונותרו 28.25 ככר שמשקלם (לפי 48 ק"ג לככר) כ- 1356 ק"ג.
אם נשווה את שני הנתונים הללו, נמצא שצפיפות הזהב היתה 2.2 - בערך תשיעית מזו של זהב טהור, הרבה פחות מכל המתכות האחרות המוזכרות בתורה (ופחות אף מזו של אלומיניום, למשל, שלא שימש בזמן ההוא). כלומר, גם אם הזהב היה מעורב עם אוויר (זהב מוקצף...) חלקו בתעורובת היה רק 1:9.

כל זה בלתי סביר בעליל, משום שכאמור רמות נקיון הזהב המקובלות בעת ההיא היו גבוהות למדי, ואף זהב גולמי, כפי שהוא יוצא מן האדמה, הוא בצפיפות של לפחות 15. על כן, או ששיעור האמה או הככר או עובי-ציפוי-הקרשים שונה מהאמור לעיל, או שהכל עמד בנס שטיבו לא נתברר (גם ציפוי הקרשים היה חלול?)

--------------
(*) את הכפורת ניתן להקטין קצת אם נשתמש באמה בת חמשה טפחים, אולם זה לא משמעותי - המסה העיקרית של הזהב מגיעה מהקרשים, שנמדדים באמת בנין.

ברזילי כתב:

חשבונות רבים כתב:

ברזילי כתב:לגבי יציבות הקרש: משקל האדן, כאמור, ככר שהוא כ-50 ק"ג. נפח כל קרש היה 15 אמות מעוקבות שהן 1.65 מ"ק לפי אמה של 48 ס"מ. צפיפות עץ משתנה בין סוגים שונים, מ- 0.35 טון למ"ק ועד 1.3 לעצים דחוסים במיוחד. צפיפותם של העצים הנקראים בימינו "שיטה" היא כ-0.7. לפי חלק מן המדרשים עצי שיטים הם ארזים, צפיפותו של ארז הלבנון כ-0.6. לכן, משקל כל קרש היה לפחות חצי טון (וכנראה בערך טון). תוספת האדנים שמשקל שניהם כממאה קילו אינה משפרת באופן משמעותי את יציבותו של הקרש. לפי חז"ל כדי ליצור מקום לאדנים (החלולים ?) נסרו כמעט עשירית מנפח הקרש, כך שהורידו עץ במשקל 50-100 ק"ג כדי לשים אדנים במשקל 100 ק"ג, וצ"ע. לפי שיעור האמה הגדול נפח הקרשים ומשקלם מוכפלים ב- 1.75. משקל האדנים, לעומת זאת נתון בתורה ואינו מושפע ממידת האמה, ולכן הבעיה חריפה עוד יותר, כמובן.

אני מבין שחישוביך הם על קרשי הדפנות. אבל השאלה שנשאלה לעיל היתה דוקא על קרשי הפרוכת ולא על קרשי הדפנות שהיו מחוברים זה לזה ונסמכו זל"ז [אך אדני הפרוכת לא היו כסף].

וְנָתַתָּה אֹתָהּ עַל-אַרְבָּעָה עַמּוּדֵי שִׁטִּים מְצֻפִּים זָהָב וָוֵיהֶם זָהָב עַל-אַרְבָּעָה אַדְנֵי-כָסֶף

פאדיחות. והכל בגלל שהתעצלתי לפתוח ספר.

לא נורא, עוד מעט ייפתח פה אשכול גדולי ישראל שעשו פאדיחות בגלל שלא פתחו ספר וסמכו על זכרונם.

ברזילי כתב:מקובל להניח שאם היה בתחתיתם אדן אחד במשקל זהה לשאר האדנים, היו מימדיהם כחצי קרש מקרשי המשכן

אבל עיין בפ"י פרשת תרומה (עמוד רל"ג בהוצאת מישור) שהוכיח שהיו יותר דקים מכך שהכניסו את הארון אחרי שהעמידום, עיי"ש.

תודה על המקור, אך לא הבנתי דבריו: נניח שכ"א מארבעת העמודים תופס שלשה-רבעים (ברוחב המשכן) על אמה (באורכו), נשארו שבע אמות לשלשה חללים בין העמודים, כלומר שתי אמות ושליש בין עמוד לעמוד. רוחב הארון אמה וחצי, ומדוע לא יוכל להכנס בין העמודים? כנראה הוא הבין שהעמודים לא היו צמודים לדופן, ואותן שבע אמות נחלקות לחמשה חללים, אבל אין בזה כל כורח

ברזילי כתב:סוגי הזהב השונים נבדלים ככל הנראה, ברמת הנקיון של הזהב, ובחומר המעורב עמו (זהב אדום, למשל, היה נפוץ, והתקבל כתוצאה מערוב מכוון של נחושת).
נמצאו כלי זהב רבים ממצרים העתיקה, ולכן ניתן לדעת מה היתה רמת הנקיון המקובלת של הזהב באותו הזמן. לפי מה שמצאתי כעת בספרות, הרמה המקובלת בתקופת יציאת מצריים היתה 70-85% זהב, אם כי נמצאו פה ושם גם כלי זהב ברמות נקיון של כ-85%. רמה של 70-85% אינה מצריכה שום טכנולוגיה מיוחדת - זו רמת הנקיון הטיפוסית של זהב כפי שהוא נכרה מן האדמה במצבו הטבעי. האחוזים החסרים הם כמעט לחלוטין כסף.

לכן, גם אם נניח שהזהב (הטהור!) עליו מדברת התורה הוא 70% זהב ו-30% כסף, הצפיפות תרד מ- 19.3 ל- 16.7. לא שינוי משמעותי.

להמחשה, נחשב את נפח הזהב שנדרש לכפורת ולקרשים בלבד (הכל באמה בת 48 ס"מ(*)), ואת הצפיפות הנגזרת מכך:

כפורת 2.5 על 1.5 אמות על טפח - כ-69 ליטר.
קרשים (לפי עובי ציפוי 1 מ"מ) - כ-11.5 ליטר לכל קרש, 48 קרשים עולים לכ- 553 ליטר (ללא עמודי הפרוכת). סה"כ 622 ליטר זהב.
כל הזהב העשוי למלאכה כ- 29.25 ככר, מתוכם ככר אחד למנורה ולכליה, ונותרו 28.25 ככר שמשקלם (לפי 48 ק"ג לככר) כ- 1356 ק"ג.
אם נשווה את שני הנתונים הללו, נמצא שצפיפות הזהב היתה 2.2 - בערך תשיעית מזו של זהב טהור, הרבה פחות מכל המתכות האחרות המוזכרות בתורה (ופחות אף מזו של אלומיניום, למשל, שלא שימש בזמן ההוא). כלומר, גם אם הזהב היה מעורב עם אוויר (זהב מוקצף...) חלקו בתעורובת היה רק 1:9.

כל זה בלתי סביר בעליל, משום שכאמור רמות נקיון הזהב המקובלות בעת ההיא היו גבוהות למדי, ואף זהב גולמי, כפי שהוא יוצא מן האדמה, הוא בצפיפות של לפחות 15. על כן, או ששיעור האמה או הככר או עובי-ציפוי-הקרשים שונה מהאמור לעיל, או שהכל עמד בנס שטיבו לא נתברר (גם ציפוי הקרשים היה חלול?)

--------------
(*) את הכפורת ניתן להקטין קצת אם נשתמש באמה בת חמשה טפחים, אולם זה לא משמעותי - המסה העיקרית של הזהב מגיעה מהקרשים, שנמדדים באמת בנין.

על סמך מה ההנחה שעובי הציפוי 1 מ"מ?

כך כתב הפלתי (יו"ד מג,ו) שכל הציפויים היו כעובי דינר, ואם כן מטבעות רבים של דינר מצויים לפנינו ועוביים בד"כ בתחום 1.5-2 מ"מ, ולכן מ"מ אחד נראה לי חסם סביר (עוד כתב שם שעובי דינר הוא כשליש אצבע, ולפי הנ"ל זו חומרה גדולה). חשבתי שזה מוסכם ופשוט, אבל עכשיו ששאלת הסתכלתי בביאור רח"ק לבריתא דמלאכת המשכן והוא מביא מקורות לכאן ולכאן ונוטה לומר שהציפוי היה דק יותר מעובי דינר (עכ"פ משיעור הדינר של הכו"פ, שליש אצבע).

כדי להגיע לערך סביר עבור צפיפות הזהב, עובי הציפוי צריך להיות כעשירית מ"מ. לכשעצמו זה לא בלתי אפשרי, אבל כמדומה שאין שום מטבע בעולם שיהיה דק כל כך.

אם אמנם אין שיעור עובי דינר לציפוי, ייתכן שהיה דק כנ"ל. מ"מ יש לזכור דברי רש"י (שבת קג) שציפוי הקרשים היה טס נפרד שרדדו אותו ואז חברו לקרש במסמר

הרחיב בנושא נדב שנרב בספרו קרן זוית.