פורום אוצר החכמה

וראיתי מי שהקשה עוד בזה, שהאחרונים יאמרו אלו היינו נוטלים בתחלה היה עולה לנו כמותם בן לוי או זקן שהם היו רובם, וכל דפריש מרובא קפריש. ואין מקום לקושיא זו, דכמו שהיו אז הפתקין רובן בן לוי וזקן גם עתה נאמר שעתה נשארו מרובין דהיו בן לוי וזקן שהרי מסורגין עלו כמ"ש

והקשה בכור שור, והלא עדיין יש קנאה כי אותם שיתחילו בתחלה יעלה זקן בידם לפי שהם רוב וכל דפריש מרובא פריש. וי"ל שאין בזה יתרון שכמו כן יכולים לומר האחרונים מסברא נוכל ליטול ע' הידות הקודמות להם שנים של חלק קודם שיגיעו אלינו

והנראה לע"ד דלק"מ דכבר קי"ל ספ"ק דכתובות (דף ט"ו) כל קבוע כמחצה על מחצה דמי אפי' לקולא כגון שזרק אבן לתוך עשרה בני אדם והיו שם ט' ישראלים ואחד עכו"ם והרג ישראל אחד דפטור הזורק דאותו עכו"ם אחד שביניהם נחשב כאילו הוא מחצה על מחצה, ודבר זה היה מגולה לכל ישראל לכל מילי, וע"כ לא היה כאן שום תרעומת אפילו אם היו מועטים בן לוי מ"מ כיון שהיה קבוע שם נחשב כמו הרבים

חמשה וששים ושלש מאות ואלף - כך סכום החשבון חמשת שקלים לגלגלת. למאתים בכורות אלף שקל, לשבעים בכורות שלש מאות וחמשים שקל, לשלש בכורות חמשה עשר שקל. אמר כיצד אעשה, בכור שאומר לו תן חמשת שקלים, יאמר לי אני מפדויי הלוים. מה עשה, הביא שנים ועשרים אלף פתקין וכתב עליהן בן לוי, ומאתים ושבעים ושלשה פתקין כתב עליהן חמשה שקלים, בללן ונתנן בקלפי, אמר להם בואו וטלו פתקיכם לפי הגורל:

רש"י מציע הסבר אפשרי לבחירה הוגנת של הבכורות שייאלצו לפדות את עצמם. הוא מטיל את האפשרות בידי הגורל. אך לכאורה, לא היה לכל בכור סיכוי שוה, שהרי לבכור הראשון שנוטל פתק מן הגורל יש סיכוי של 273:22,000 שיצטרך לשלם חמישה סלעים. לבכור הבא שיטול את הפתק ישתנה הסיכוי (273:21,999 או 272:21,999). כלומר, דווקא הגורל הוא שפוגע בסיכויים השוים!

אני מתייחס לעניין זה בספרי (הגיון הגורל, הוצאת ראובן מס) בעמוד 51, ולפתרון שאלתך בעמוד 143 (שאלה דומה עבור בחירת 70 הזקנים).
יש הרבה תירוצים, חלקם דחוקים (למשל "כולם הכניסו ביחד את ידיהם בקלפי" ועוד...).
אולם התירוץ הפשוט הוא שהם לא פתחו את פתקיהם עד שכולם בחרו בפתק. ואם כך הדבר אז ההסתברות להיות פדוי היא שווה לכולם.

לייטנר כתב:שאלתי פעם את פרופ' עלי מרצבך בנושא דומה:

חמשה וששים ושלש מאות ואלף - כך סכום החשבון חמשת שקלים לגלגלת. למאתים בכורות אלף שקל, לשבעים בכורות שלש מאות וחמשים שקל, לשלש בכורות חמשה עשר שקל. אמר כיצד אעשה, בכור שאומר לו תן חמשת שקלים, יאמר לי אני מפדויי הלוים. מה עשה, הביא שנים ועשרים אלף פתקין וכתב עליהן בן לוי, ומאתים ושבעים ושלשה פתקין כתב עליהן חמשה שקלים, בללן ונתנן בקלפי, אמר להם בואו וטלו פתקיכם לפי הגורל:

רש"י מציע הסבר אפשרי לבחירה הוגנת של הבכורות שייאלצו לפדות את עצמם. הוא מטיל את האפשרות בידי הגורל. אך לכאורה, לא היה לכל בכור סיכוי שוה, שהרי לבכור הראשון שנוטל פתק מן הגורל יש סיכוי של 273:22,000 שיצטרך לשלם חמישה סלעים. לבכור הבא שיטול את הפתק ישתנה הסיכוי (273:21,999 או 272:21,999). כלומר, דווקא הגורל הוא שפוגע בסיכויים השוים!

וענה לי בקצרה:

אני מתייחס לעניין זה בספרי (הגיון הגורל, הוצאת ראובן מס) בעמוד 51, ולפתרון שאלתך בעמוד 143 (שאלה דומה עבור בחירת 70 הזקנים).
יש הרבה תירוצים, חלקם דחוקים (למשל "כולם הכניסו ביחד את ידיהם בקלפי" ועוד...).
אולם התירוץ הפשוט הוא שהם לא פתחו את פתקיהם עד שכולם בחרו בפתק. ואם כך הדבר אז ההסתברות להיות פדוי היא שווה לכולם.

אלא שעל כך יש לשאול איך ייתכן שהסטטיסטיקה משתנה לפי זמן פתיחת הפתק? אלו השלכות יש לכך שפתחתי את הפתק שלי לפני שאחר פתח את שלו או באותו זמן?

לייטנר כתב:הסיכויים משתנים גם אם לא יודעים אותם (ולכן בתחילת ההגרלה הכל שווה).
מה היו הסיכויים של אחד הזקנים להוציא פתק לבן, אחרי שאלדד ומידד הוציאו את שני הפתקים הלבנים היחידים שהיו?
במקרה הנ"ל, גם אם הפתקים היו נחשפים רק לאחר שכולם הגרילו את פתקיהם, לזקן שלקח פתק אחרי אלדד ומידד היה אפס אחוז סיכוי שיקבל פתק לבן.

סעדיה כתב:

לייטנר כתב:הסיכויים משתנים גם אם לא יודעים אותם (ולכן בתחילת ההגרלה הכל שווה).
מה היו הסיכויים של אחד הזקנים להוציא פתק לבן, אחרי שאלדד ומידד הוציאו את שני הפתקים הלבנים היחידים שהיו?
במקרה הנ"ל, גם אם הפתקים היו נחשפים רק לאחר שכולם הגרילו את פתקיהם, לזקן שלקח פתק אחרי אלדד ומידד היה אפס אחוז סיכוי שיקבל פתק לבן.

לכולם יש סיכוי שווה בהתחלה, אלא שהאחרונים גורלם נחרץ כבר (או עכ"פ סיכוייהם התמעטו) ע"י הוצאות הפתקים הראשונים.
למה שיהיה אכפת להם העובדה שגורלם נחרץ לא ע"י הוצאתם הם את פתקיהם אלא ע"י אחרים שהוציאו פתקים אחרים?

סעדיה כתב:

לייטנר כתב:הסיכויים משתנים גם אם לא יודעים אותם (ולכן בתחילת ההגרלה הכל שווה).
מה היו הסיכויים של אחד הזקנים להוציא פתק לבן, אחרי שאלדד ומידד הוציאו את שני הפתקים הלבנים היחידים שהיו?
במקרה הנ"ל, גם אם הפתקים היו נחשפים רק לאחר שכולם הגרילו את פתקיהם, לזקן שלקח פתק אחרי אלדד ומידד היה אפס אחוז סיכוי שיקבל פתק לבן.

לכולם יש סיכוי שווה בהתחלה, אלא שהאחרונים גורלם נחרץ כבר (או עכ"פ סיכוייהם התמעטו) ע"י הוצאות הפתקים הראשונים.
למה שיהיה אכפת להם העובדה שגורלם נחרץ לא ע"י הוצאתם הם את פתקיהם אלא ע"י אחרים שהוציאו פתקים אחרים?

חשבונות רבים כתב:

סעדיה כתב:

לייטנר כתב:הסיכויים משתנים גם אם לא יודעים אותם (ולכן בתחילת ההגרלה הכל שווה).
מה היו הסיכויים של אחד הזקנים להוציא פתק לבן, אחרי שאלדד ומידד הוציאו את שני הפתקים הלבנים היחידים שהיו?
במקרה הנ"ל, גם אם הפתקים היו נחשפים רק לאחר שכולם הגרילו את פתקיהם, לזקן שלקח פתק אחרי אלדד ומידד היה אפס אחוז סיכוי שיקבל פתק לבן.

לכולם יש סיכוי שווה בהתחלה, אלא שהאחרונים גורלם נחרץ כבר (או עכ"פ סיכוייהם התמעטו) ע"י הוצאות הפתקים הראשונים.
למה שיהיה אכפת להם העובדה שגורלם נחרץ לא ע"י הוצאתם הם את פתקיהם אלא ע"י אחרים שהוציאו פתקים אחרים?

ולמה שלא משה רבינו עצמו יוציא פתקים עבור כולם? על כרחך עניין הגורל הוא במה שכל אחד מוציא לעצמו ונוטל לעצמו את חלקו ועל כן קושיית המהרש"א קמה וגם ניצבה (בין אם הפתקים נפתחו קודם או אחר כך).

לייטנר כתב:שאלתי פעם את פרופ' עלי מרצבך בנושא דומה:

חמשה וששים ושלש מאות ואלף - כך סכום החשבון חמשת שקלים לגלגלת. למאתים בכורות אלף שקל, לשבעים בכורות שלש מאות וחמשים שקל, לשלש בכורות חמשה עשר שקל. אמר כיצד אעשה, בכור שאומר לו תן חמשת שקלים, יאמר לי אני מפדויי הלוים. מה עשה, הביא שנים ועשרים אלף פתקין וכתב עליהן בן לוי, ומאתים ושבעים ושלשה פתקין כתב עליהן חמשה שקלים, בללן ונתנן בקלפי, אמר להם בואו וטלו פתקיכם לפי הגורל:

רש"י מציע הסבר אפשרי לבחירה הוגנת של הבכורות שייאלצו לפדות את עצמם. הוא מטיל את האפשרות בידי הגורל. אך לכאורה, לא היה לכל בכור סיכוי שוה, שהרי לבכור הראשון שנוטל פתק מן הגורל יש סיכוי של 273:22,000 שיצטרך לשלם חמישה סלעים. לבכור הבא שיטול את הפתק ישתנה הסיכוי (273:21,999 או 272:21,999). כלומר, דווקא הגורל הוא שפוגע בסיכויים השוים!

וענה לי בקצרה:

אני מתייחס לעניין זה בספרי (הגיון הגורל, הוצאת ראובן מס) בעמוד 51, ולפתרון שאלתך בעמוד 143 (שאלה דומה עבור בחירת 70 הזקנים).
יש הרבה תירוצים, חלקם דחוקים (למשל "כולם הכניסו ביחד את ידיהם בקלפי" ועוד...).
אולם התירוץ הפשוט הוא שהם לא פתחו את פתקיהם עד שכולם בחרו בפתק. ואם כך הדבר אז ההסתברות להיות פדוי היא שווה לכולם.

אלא שעל כך יש לשאול איך ייתכן שהסטטיסטיקה משתנה לפי זמן פתיחת הפתק? אלו השלכות יש לכך שפתחתי את הפתק שלי לפני שאחר פתח את שלו או באותו זמן?

אוצר החכמה כתב:אני משתומם על טענתך שלא ידע הרב עו"ח. הלא הוא הביא את דברי המ"ר ודן בהם. והרב חשבונות רבים הציע ביאור מוסבר בזה.

לייטנר כתב:אלא שעל כך יש לשאול איך ייתכן שהסטטיסטיקה משתנה לפי זמן פתיחת הפתק? אלו השלכות יש לכך שפתחתי את הפתק שלי לפני שאחר פתח את שלו או באותו זמן?

צעיר_התלמידים כתב:זה לא שאלת פרדוקס מונטי הול?

אוצר החכמה כתב:בכלל כפי שאפשר לראות בהסבר על הפרדוקס בויקיפדיה, שרש העניין הוא בעובדה שהמנחה פותח את הדלת דווקא לפי כלל מסויים משא"כ כאן, וכמו שהתבאר.

עושה חדשות כתב:לר' סעדיה. הערתך היא גם על הטענה המופיעה בד' חז"ל (ירושלמי ומדרשים) דנתמצו כל הפתקין, ודו"ק.

ומה דעתכם על תירוצו של הט"ז?
לתועלת המעיינים, אעתיק את כל לשונו:

חמשה וששים כו', כיצד אעשה כו'. ורע"ג פתקין כתב עליהם ה' שקלים. זה דעת ר' יהודה במדרש רבה, אבל ר' נחמיה הקשה ע"ז הרי נתמצו כל הפתקין שכתוב עליהם בן לוי אם אני נותן ידי מה אני נוטל מי אמר לי אם היה שם פתק של לוי שלא זכיתי בו, אלא כך עשה כתב על כ"ב אלף ורע"ג פתקין לוי לוי ועל רע"ג ה' שקלים וכו'. וכתב הרא"ם ואף על זה יש לדון שמ"מ האחרונים יאמרו אילו היינו נוטלים בתחילה כשהיו רבים של פתקי לוי כ"ב אלף ורע"ג ופתקי ה' שקלים רק רע"ג מי יאמר שלא עלה בידי של לוי כי כל מאי דפריש מרובא קא פריש, ולכאורה י"ל שכל מי שנוטל פתקו חוזר וזורק פתקו ההוא לקלפי בענין שלעולם היו הפתקים שוים שם, וע"ז קשה א"כ שמא יטלו כולם של לוי זה אחר זה, והדרא קושיא לדוכתא. וא"ל שמיד שיצאו כ"ב אלף הנשארים יהיו של ה' שקלים וממילא יהיו חייבים לפדות, דא"כ קשה מי ירצה להיות מן הנשארים ולא יקח תחילה פתקו. ויש מתרצים שידעו שכל מה שעשה משה הוא ע"פ רוח הקודש ולכך לא היה תרעומת, וזה לאו מילתא דא"כ למה היה גורל כלל יאמר משה לכל אחד אתה חייב ועל השני פטור ע"י רוח הקודש. ותו דא"כ לא היה ר' נחמיה מקשה כלום על ר' יהודה במדרש. וראיתי דברים זרים בזה בודים מלבם גורלות היאך היו מה שלא נזכר כלל. והנראה לע"ד דלק"מ דכבר קי"ל ספ"ק דכתובות (דף ט"ו) כל קבוע כמחצה על מחצה דמי אפי' לקולא כגון שזרק אבן לתוך עשרה בני אדם והיו שם ט' ישראלים ואחד עכו"ם והרג ישראל אחד דפטור הזורק דאותו עכו"ם אחד שביניהם נחשב כאילו הוא מחצה על מחצה, ודבר זה היה מגולה לכל ישראל לכל מילי, וע"כ לא היה כאן שום תרעומת אפילו אם היו מועטים בן לוי מ"מ כיון שהיה קבוע שם נחשב כמו הרבים. ולא נשאר קושיא רק מה שהקשה ר' נחמיה לר' יהודה שמא לא ישארו שם כלל פתק של לוי רק ישארו פתקים של רע"ג ה' שקלים ולא יהיה שום קבוע שם, כנ"ל ברור