הרב משה שרים נולד בי"א אייר תרפ"ט לאביו רבי עזרא שרים ז"ל שהקים וחולל את ישיבת "פורת יוסף" לאחר חורבנה במלחמת השחרור. לאחר מלחמת השחרור, רבי משה יחד עם אביו ואחיו קוממו את הישיבה. הרב משה שרים זצ"ל פתח את פנימיית ישיבת "פורת יוסף" בקטמון יחד עם הגר"ש כהן והגר"ש בעדני וגדולי ישראל נוספים.
אחרי מלחמת השחרור בנו את בניין ישיבת 'פורת יוסף' בעיר העתיקה. במשך הזמן בנו סניפים בקרית אתא, קרית גת ובתל אביב.
בשנת תש"ן עזב הרב שרים את 'פורת יוסף', ופתח, כשהוא בן 65, מוסדות חדשים בשם "מסילת התורה" אשר מונים אלפי תלמידים ובהם יש תלמודי תורה, ישיבות וכוללים.
ביום רביעי האחרון, לאחר החמרה במצבו, הובהל הרב שרים לבית החולים שם השיב את נשמתו ליוצרה, והוא בן 89.
מאות בני תורה ליוו את הרב זצ"ל למנוחות.
ידידו מרן הגר"ש כהן שליט"א ספד לו וביכה את פטירתו.